从零开始了解中国传统乐理知识（三）——三分损益法·下

上篇结论

规律1：弦长 / 2（频率 * 2），音高提升八度（琴键 + 12）
规律2：弦长 * 2（频率 / 2），音高降低八度（琴键 - 12）
规律3：弦长 * 2 / 3（频率 / 2 * 3），音高提升5度（琴键 + 7，三分损一）
规律4：弦长 / 2 * 3（频率 * 2 / 3），音高降低5度（琴键 - 7）
规律5：弦长 * 4 / 3（频率 / 4 * 3），音高降低4度（琴键 - 5，三分益一）
规律6：弦长 / 4 * 3（频率 * 4 / 3），音高提升4度（琴键 + 5）
频率反比于弦长（已在上括号内体现）

推导思路

根据上一节获得的定论，我们希望直接通过计算，推导出五音音阶、七音音阶甚至12音音阶。为了简化，假设使用一根虚拟的基础弦，它的：
- 有效弦长为单位1
- 频率倍数为1
- 音高为c4。这里c後面的4可以理解为钢琴键盘上第四个12音循环。
想得到这根虚拟弦的高八度音，需要将弦长 * 0.5，则频率倍数 * 2，音高提升八度，变为c5。
所谓音阶，必须在一个八度的范围内，因此目标音阶被锁定于c4-c5之间，即弦长0.5-1之间，也即频率倍数1-2之间。

只损不益

下面我们使用“只损不益”的方法来进行推导，建议使用Excel来进行计算。

只损不益

步骤1：准备好频率倍数1、弦长1、音高c4的基础弦。
步骤2：基础弦三分损一，使用规律3：
- 频率：1 / 2 * 3 = 1.5
- 弦长：1 * 2 / 3 = 0.666…（或使用 1 / 频率，即 1 / 1.5 = 0.666，以下皆用此方法）
- 音高：提升5度（琴键 + 7），c4变为g4
步骤3：在上一步的断弦基础上，继续三分损一：
- 频率：1.5 / 2 * 3 = 2.25
- 弦长：1 / 2.25 = 0.444…
- 音高：提升5度（琴键 + 7），g4变为d5
- 这个d5不是我们想要的，我们需要一个八度内的音，频率在1-2之间，而d5是高一个八度的，因此这是一个过渡音，还需要处理。
步骤4：在上一步的基础上，将弦长翻倍（规律2）：
- 频率：2.25 / 2 = 1.125
- 弦长：1 / 1.125 = 0.888…
- 音高：降低八度（琴键 - 12），d5变为d4
- 这样，我们获得了d4，这种先损再翻倍的技术会一直循环应用。
步骤5：继续三分损一：
- 频率：1.125 / 2 * 3 = 1.6875
- 弦长：1 / 1.6875 = 0.592…
- 音高：提升5度（琴键 + 7），d4变为a4
步骤6：继续三分损一：
- 频率：1.6875 / 2 * 3 = 2.53125
- 弦长：1 / 2.53125 = 0.395…
- 音高：提升5度（琴键 + 7），a4变为e5，需要降八度。
步骤7：弦长翻倍：
- 频率：2.53125 / 2 = 1.265…
- 弦长：1 / 1.265… = 0.790…
- 音高：降低八度（琴键 - 12），e5变为e4

五度相声律

至此，我们已经得到了同一个八度上的c g d a e，如果第一个音为宫，这个序列就是宫徴商羽角（1 5 2 6 3），和上篇史记中的顺序是一样的。

九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。

然而仔细观察会发现，史记中的方法是损益结合，和这种方式并不太一样。其实，这种方法叫做五度相声律，创始人是古希腊的毕达哥拉斯，就是发现勾股定理的那位。
两种方法殊途同归，毕老爷子大概是春秋时期的人，而中国最早记载三分损益法的书籍可能是《管子》，有类似三分而益之以一，为百有八，为徵。这样的话语。管子并不是管仲写的，而是战国田齐的学士编纂的，所以论年代中国晚一些，当然这除了证明百度胡说外，并不能说明什么问题。

十二律的循环

我们已经获得了五音，但很明显这个推导还可以继续下去。先不用别的办法，继续只损不益地死磕，看看还能变出什么鬼。
步骤8：三分损一：
- 频率：1.265… / 2 * 3 = 1.898…
- 弦长：1 / 1.898… = 0.526…
- 音高：提升5度（琴键 + 7），e4变为b4
- 以下为了方便理解，我们都假定目前是c调，直接称呼唱名。现在，这个被五音系统抛弃的xi出现了，也就是七音系统中的变宫。
步骤9：三分损一：
- 音高：提升5度（琴键 + 7），b4变为#f5
- 虽然七音就差一个fa了，但就是不出来，这是一个钢琴黑键，高八度的#fa。
步骤10：弦长翻倍：
- 音高：降低八度（琴键 - 12），#f5变为#f4
- 出现了一个12音中的音，先攒着。
步骤11：三分损一：
- 音高：#f4变为#c5
步骤12：弦长翻倍：
- 音高：#c5变为#c4
步骤13：三分损一：
- 音高：#c4变为#g4
步骤14：三分损一：
- 音高：#g4变为#d5
步骤15：弦长翻倍：
- 音高：#d5变为#d4
步骤16：三分损一：
- 音高：#d4变为#a4
步骤17：三分损一：
- 音高：#a4变为f5
- 升号没了，出现了高八度的fa！
步骤18：弦长翻倍：
- 音高：f5变为f4
- 期待已久的fa出现了，这样，1 2 3 4 5 6 7七声音阶就完全凑齐了。与此同时，12音的半音阶也完全凑齐了，这种方法一以贯之，获得了所有的音。不过，我们似乎还可以继续往下走……
步骤19：三分损一：
- 音高：f4变为c5
步骤20：弦长翻倍：
- 音高：c5变为c4
- 推导到这里，看c4有点眼熟，这不是起始的基础弦么？准确来讲，这是一个非常接近基础弦的音。
我们初始定义基础弦的频率倍数为1，弦长也为1，而经过20步後的这个音，频率倍数1.01364…，弦长0.98654…，这并不是小数点取整导致的误差，而是实实在在的不一样。
这种现象，中国叫黄钟不能还原，西方叫毕达哥拉斯音差。这种差别，人耳是基本听不出来的，所以我们完全有本钱欺骗自己。

其余推导方法

上文的只损不益仅为方法的一种，而实际上还有不少方法可以使用，但原理都跳不出文章开头的那些结论。

史记的损益法

史记中正统的损益法，大致如下：

史记损益法

可以看到，前七步的损益打击精准，直接形成了雅乐音阶1 2 3 #4 5 6 7。这种推导方式是只损不益的简化，可快速获得音阶，但无法得到完整的12音。

只益不损

只益不损的方法，主要应用的是规律4（三分损一逆过程）。这种方法与只损不益相比，音的获取过程也正好相反。
它的好处是能快速获得fa音，这也是西方七声音阶提取fa的方法。不过，这种过程和只损不益所获得的所有音都有一定的偏差，最后和基础弦的频率差也是一个偏高，一个偏低。

只益不损

纯律

西方人将1 2 3 4 5 6 7提取了出来，它们的频率倍数（保留三位小数）分别为：1、1.125、1.266、1.333、1.5、1.688、1.898。如果以分数表示，它们分别为：1、9/8、81/64、4/3、3/2、27/16、243/128。
但是，有些数太复杂了，所以西方人对其进行了简化，将3的81/64简化为5/4，6的27/16简化为5/3，7的243/128简化为15/8，这样，纯律就诞生了。
纯律是人为调整过的音高，人听起来竟然还挺舒服的，只不过由于转调困难，实际并没有什么乐器使用。

总结

以上通过实际计算，直观地认识到了三分损益法的原理以及部分西方的相关理论。中国古代律学极其奥秘，这里只能算作简单实践。
古人著书常有文过于质的陋习，无论多简单的事非要掺杂入阴阳五行天文地理，造成学习的困难。希望通过借助西方乐理的他山之石，可以攻破中国古代乐理之玉，从中提炼出更多内容以供今人之用。

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