从零开始了解中国传统乐理知识（二）——三分损益法·上

本节内容涉及数学及乐器演奏，可能有较难理解的地方。如实在无法理解或对推导过程不感兴趣，可直接看结论部分。

十二律的确定原则

• 了解了五音十二律後，最大的疑问是：这十二个音是怎么来的？其实很简单，都是人类自己定的。
• 我们自己定的这十二个音，符合人类自己的审美，所以听到以这样的音程关系唱出来的歌，人们觉得是艺术的享受。猫听到同样的歌曲是否觉得享受不得而知，其实没准会觉得是走调的。

推导前的准备

• 想要确定这些音，需要准备两样东西：
  • 计算器：如果用Excel之类更好，我们需要计算一些东西（不用微积分，莫慌）
  • 弦乐器：只需要使用其中的一根弦，如果有古琴最好，下文均以古琴为标准来讲述，但使用吉他、二胡等其它弦乐器也完全可以。
• 在开始实验之前，先明确几个定理：
  • 定理1：振动频率（单位赫兹）越高，音高越高。
    • 即：频率 正比于 音高
    • 属于常识，无须解释。
  • 定理2：弦长越长，音高越低。
    • 即：弦长 反比于 音高
• 从定理2出发：我们在弹琴时，如果弹空弦，发出的是此弦有效弦长的基本音。比如古琴正调一弦发出的散音是C音（音名为C，定弦5 6 1 2 3 5 6，其中的5是F调唱名）。大多数弦乐器并不会只使用基本音的，都会用手指按弦来改变弦长，从而获得各种其它音。
• 所谓有效弦长，古琴的有效弦长指的是一根弦从龙龈到岳山的长度，简单来说，就是一根弦搭住的左右两边。而我们按弦的时候，等于临时改变了一根弦的弦长，假设按在弦的正中心（七徽），我们弹奏的弦长就变成了本身弦长的一半，音高也就变成了比基本音高八度的音。我们弹琴时的左手，实际是在替代龙龈的角色。

第一组规律

• 通过改变有效弦长，即对比弹空弦和按在弦的正中心弹奏，我们发现了第一组规律：
  • 规律1：弦长减半，音高提升八度；
  • 规律2：弦长翻倍，音高降低八度。（从按中心到弹空弦反推）
• 在古琴上面，这还可以玩出很多东西，如按七徽高八度（有效弦长 = 0.5），按四徽高两个八度（有效弦长 = 0.5*0.5），按一徽高三个八度（有效弦长 = 0.5*0.5*0.5）……如果不怕弦断，还可以继续。
• 有效弦长 = 0.5 ^ n (n 为 截取倍数)——通过这样的处理，可以得到比基本音高n个八度的音。相应的，这些音的频率也是越来越高：实际频率 = n * 基础频率。
• 所谓一个八度，就是从基础音到截取一半弦长这个范围内的所有音。
• 在古琴上，可以尝试从散音开始，从徽外弹按音，一直滑到七徽，就是一个八度，和钢琴上一个十二音循环完全一样，区别只是钢琴音离散，而古琴音是连续的。
  • 想在古琴一根弦上弹出1 2 3 4 5 6 7 1这8个音也很容易，以一弦为例，指法为：
    • 散一、按徽外、按十一、按十、按九、按八、按七三、按七
    • 实际上弹半音阶也毫无压力，原则上所有钢琴曲都可以放在古琴上弹，只不过只能模拟其中的一只手。这就是乐器之所以为“器”，而并非“乐”本身的体现。

三分损益法的计算

• 如果以上能够明白，则可以进入三分损益法的正题，开始数学计算了。在数学之前先来段语文：

九九八十一以为宫。三分去一，五十四以为徵。三分益一，七十二以为商。三分去一，四十八以为羽。三分益一，六十四以为角。

• 以上摘自《史记·律书》，这既是隐藏在文言文中的数学题，又是隐藏在数学中的艺术。

• 三分损益法中包含了两种方法
  • 一是三分损一（即上文的三分去一）
    • 意思是把弦长分为三份，去掉一份。也就是减去原弦长的三分之一，变为原弦长 * 2/3
  • 二是三分益一
    • 意思同样是把弦长分三份，然后添加一份。也就是加上原弦长的三分之一，变为原弦长 * 4/3。
• 九九八十一以为宫，这里八十一是长度，为方便可暂理解为厘米，宫即do，也就是说弦长81cm的音为do。
• 三分去一，五十四以为徵。，三分去一，执行81 * 2/3，算出来的结果确实是54，然后这个弦长发出来的音是徴，即so。
• 余下的内容都迎刃而解，经过本轮计算后，宫商角徴羽五音俱全：
  • 54(徴) * 4/3 = 72(商)
  • 72(商) * 2/3 = 48(羽)
  • 48(羽) * 4/3 = 64(角)

管律

• 以上就是三分损益法的基础内容，古人实际是通过切割许多管子，来测试实现以上过程，而使用琴弦的道理是完全一样的。
• 定音的管叫做管律，有各种材质，比如竹律、铜律、玉律等。成语金科玉律中的律字，也是来源于此。

其余的规律

三分损一及度的概念

• 我们还是希望对损益二法有更多直观的认识。仍然用古琴的一弦来测试，其发音为do，先用尺子量出它的有效弦长长度。测试三分损一，需要2/3弦长，用尺子量完，会发现正好在九徽上。按九徽弹出的音，发音为so。这就是第二个规律：
  • 规律3：弦长*2/3，音高提升5度。（三分损一）
• 补充所谓几度的概念：这里用最笨但有效的方法来记：相隔5度的两个音，在钢琴键盘上，中间永远夹6个键（黑白全算）。後面要说到的4度，则是中间夹4个键。如果有一定视唱练耳基础，那就可以直接听出来了，两音是do so关系即5度，do fa关系即4度。而所谓8度，是中间夹11个键。

  三分益一及四分损一

• 继续测试三分益一，需要4/3弦长。把琴弦接出来一段不太现实，我们先做逆运算，即获得3/4弦长，用尺子量完以后，会发现在第十徽，发音则为fa。这是第三个规律：
  • 规律6：弦长/4*3，音高提升4度。
• 这实际上是四分损一，即四分之三，而三分益一应该是三分之四。所以再绕一下，我们用七徽按音（一半弦长）作为基础do，把这一半分为三份，再加到左边，用尺子量完，应落在九徽处。这个音发音为so（还是那个so），但相对目前的基础do低了一个八度，数一下钢琴键可以确定，这是4度关系。因此第三条规律可以补一条：
  • 规律5：弦长*4/3，音高降低4度。（三分益一）
• 用同样的方法可以论证三分损一的逆过程（规律4），不再赘述。

结论

• 六条规律
  • 规律1：弦长 / 2，音高提升八度
  • 规律2：弦长 * 2，音高降低八度
  • 规律3：弦长 * 2 / 3，音高提升5度（三分损一）
  • 规律4：弦长 / 2 * 3，音高降低5度
  • 规律5：弦长 * 4 / 3，音高降低4度（三分益一）
  • 规律6：弦长 / 4 * 3，音高提升4度
• 根据最初的定理
  • 频率 正比于 音高
  • 弦长 反比于 音高
  • 还可以得出：频率 反比于 弦长
• 有了这些规律，我们其实可以先扔开史记，来自己进行一些运算了。